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 "cells": [
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 2,
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   "outputs": [
    {
     "data": {
      "application/javascript": "IPython.notebook.set_autosave_interval(300000)"
     },
     "metadata": {},
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    },
    {
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     "output_type": "stream",
     "text": [
      "Autosaving every 300 seconds\n"
     ]
    }
   ],
   "source": [
    "%reset -f\n",
    "%matplotlib inline\n",
    "%autosave 300\n",
    "#import sys #only needed to determine Python version number\n",
    "#import matplotlib #only needed to determine Matplotlib version number\n",
    "\n",
    "#print('Python version ' + sys.version)\n",
    "#print('Matplotlib version ' + matplotlib.__version__)\n",
    "from matplotlib.pylab import *"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "Nous allons comparer une fonction $f$ de $\\mathbb R$ dans $\\mathbb R$ avec son développement limité (un polynôme!) en un point à différents ordre. Nous devons d'abord définir la fonction $f$ puis calculer ses dérivées à la main por enfin construire le polynôme d'approximation. Nous allons ensuite comparer les valeurs de $f$ et de son polynôme d'approximation sur un voisinnage du point de développement."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "# Construction d'une fonction et de son graphe\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## Calcul des dérivées et initiation à la syntaxe LaTeX\n",
    "Soit la fonction $f$ telle que $f(x)=\\sin(x)(x-2)^2$. Proposer les expressions de la dérivée première, seconde et troisième de $f$ dans la cellule Markdown suivante."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": []
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## Graphe de la fonction\n",
    "Nous allons maintenant tracer le graphe de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-1,5]$. \n",
    "### fonction Python\n",
    "Définissez la fonction $f$ en Python à l'aide de la syntaxe `def` ou `lambda`. \n",
    "### Liste de compréhension\n",
    "Proposez une liste de compréhension pour les valeurs de $x$ dans l'intervalle $[-1,5]$ avec un pas de $0.01$. Puis proposez une liste de compréhension pour les valeurs de $f(x)$ pour ces valeurs de $x$. Faites alors le graphes de $f$ sur l'intervalle $[-1,5]$.\n",
    "### Tableau numpy\n",
    "On va refaire le même exercice à l'aide de la librairie numpy déjà importée par matplotlib dans la première cellule de ce Notebook. Utiliser alors la commande `linspace` pour créer un tableau de valeurs de $x$ et le tableau des valeurs de $f(x)$ correspondantes. On choisira un nombre de points du graphe du même ordre qu'à l'exercice précédent. Refaites alors le graphes de $f$ sur l'intervalle $[-1,5]$."
   ]
  },
  {
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   "execution_count": null,
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   "source": []
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 3,
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   "outputs": [
    {
     "data": {
      "text/plain": [
       "[<matplotlib.lines.Line2D at 0x7fd9beca6280>]"
      ]
     },
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    },
    {
     "data": {
      "image/png": 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    "## Développement limité en $0$\n",
    "Nous allons maintenant développer la fonction $f$ en $0$ à l'ordre $1$, $2$ puis $3$.\n",
    "### Codez les dérivées de $f$ dans des fonctions Python.\n",
    "### Développement limité à l'ordre $1$\n",
    "Proposez le développement limité de $f$ en $0$ à l'ordre $1$ et renseignez le dans une fonction python `dev_lim_1(x)`.\n",
    "### Développement limité à l'ordre $2$\n",
    "Proposez le développement limité de $f$ en $0$ à l'ordre $2$ et renseignez le dans une fonction python `dev_lim_2(x)`.\n",
    "### Développement limité à l'ordre $3$\n",
    "Proposez le développement limité de $f$ en $0$ à l'ordre $3$ et renseignez le dans une fonction python `dev_lim_3(x)`.\n",
    "### Graphes des développements limités\n",
    "Faites les graphes des développements limités de $f$ en $0$ à l'ordre $1$, $2$ puis $3$ sur l'intervalle $[-1,1]$.\n"
   ]
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    "## Developpements limités en différents points\n",
    "Proposez une fonction python `dev_lim_ordre_3(x,a)` qui renvoie le développement limité de $f$ en $a$ à l'ordre $3$. Faites alors les graphes des développements limités de $f$ en chaque point entier de l'intervalle $]-1;5[$ sur un intervalle de longueur $\\frac 3 4$ centré en chacun des points du développement. Faites ces graphes de couleur bleue et en pointillés et faites le graphe de $f$ en rouge sur l'intervalle $[-1,5]$."
   ]
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    "## Calcul d'erreur\n",
    "Nous allons maintenant calculer l'erreur d'approximation de $f$ par son développement limité en $0$ à l'ordre $3$ sur l'intervalle $[-1,1]$. Pour cela, proposez une fonction python `erreur_dev_lim_3()` qui renvoie la valeur absolue de l'écart maximale entre $f$ et son par son développement limité en $0$ à l'ordre $3$ pour $1000$ valeurs de $x$ équireparties dans l'intervalle $[-1,1]$. \n",
    "\n",
    "### Réduction de l'intervalle\n",
    "Faites le même travail sur l'intervalle $[-\\varepsilon,\\varepsilon]$ pour le développement limité en $0$ à l'ordre $3$. Proposez une fonction python `erreur_dev_lim_3_eps(eps)` qui renvoie la valeur absolue de l'écart maximale entre $f$ et son par son développement limité en $0$ à l'ordre $3$ pour $1000$ valeurs de $x$ équireparties dans l'intervalle $[-\\varepsilon,\\varepsilon]$.\n",
    "### Calcul d'erreur en fonction de $\\varepsilon$\n",
    "En commençant par $\\varepsilon=1$, puis en le divisant par $3$ à chaque fois, faites le graphique de l'erreur `erreur_dev_lim_3_eps(eps)` en fonction de $\\varepsilon$ sur l'intervalle $[10^{-10},1]$, en échelle $log$.\n",
    "### Quelle est la pente de la courbe? Commentez."
   ]
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    "# Interpolation de Lagrange\n",
    "Nous allons proposer maintenant de nouvelles \n",
    "approximations polynômiales qui ne s'appuient pas sur le développement limité de la fonction. Nous allons introduire l'interpolation de Lagrange qui consiste à construire l'unique polynôme $p$ de $\\mathbb R^{k}[x]$ qui satisfait $(p(x_\\ell)=f(x_\\ell))_{0\\le \\ell\\le k}$ pour $x_0<x_1<\\cdot\\cdot<x_k$.  \n",
    "Par exemple, par 2 points distincts du plan passe une unique droite, par 3 points (d'abscisses distinctes) passe une unique parabole...  \n",
    "\n",
    "## Interpolation affine\n",
    "Le premier objectif est de définir la fonction `affine` d'interpolation affine paramétrée par l'abscisse $x$ et les coordonnées des 2 points d'interpolation.  \n",
    "Testez cette fonction en produisant le graphe de l'interpolation affine par 2 points ainsi que l'affichage des deux points.\n",
    "## Interpolation parabolique\n",
    "Il convient alors de faire de même pour l'interpolation parabolique à 3 points que l'on nommera `parabole`."
   ]
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   "source": [
    "## Interpolation cubique\n",
    "On construit de la même façon l'interpolation cubique pour interpoler 4 points d'abscisse différentes. On nommera cette fonction `cubique`, paramétrée par $x$ ainsi que les coordonnées des quatres points.\n",
    "On choisira d'interpoler la fonction $f$ définie en début de Notebook par les points $(-1,f(-1))$, $(0,f(0))$, $(1,f(1))$ et $(2,f(2))$."
   ]
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    "## Intrpolation de Lagrange quelconque\n",
    "Proposer la construction d'une fonction `lagrange` qui construit l'interpolation de Lagrange paramétrée par $x$ et par un nombre quelconque de points d'interpolation renseignés dans un tableau `numpy` de points. Selon la taille du tableau, le polyneôme d'interpolation sera de degré au plus $n-1$ où $n$ est la taille du tableau.\n",
    "(question difficile)"
   ]
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   "source": [
    "# Approximation de la dérivée\n",
    "On va calculer, à partir de la définition du nombre dérivée $$f^\\prime(x_0)=\\lim_{h\\to 0} \\frac {f(x_0+h)-f(x_0)}{h},$$ une approximation de $f^\\prime(x_0)$ en évaluant le taux d'accroissement pour $h$ \"petit\". \n",
    "## Approximation de la dérivée première\n",
    "Proposer une fonction `derivee_premiere` qui prend en argument une fonction $f$, un réel $x$, un réel $h$ (qui sera choisi petit en pratique) et qui renvoie une approximation de $f^\\prime(x)$ pour $h$ \"petit\".\n",
    "Tracer le graphe de la dérivée de $f$ (introduit en débur de Notebook) sur l'intervalle $[-1,5]$ ainsi que son approximation `derivee_premiere` pour $h=10^{-3}$.\n",
    "## Approximation centrée de la dérivée première\n",
    "Proposer une fonction `derivee_premiere_centree` qui prend en argument une fonction $f$, un réel $x$, un réel $h$ (qui sera choisi petit en pratique) et qui renvoie une approximation de $f^\\prime(x)$ pour $h$ \"petit\" en utilisant l'approximation centrée: $$f^\\prime(x_0)=\\lim_{h\\to 0} \\frac {f(x_0+h)-f(x_0-h)}{2h}.$$\n",
    "Tracer le graphe de l'approximation centrée de la dérivée de $f$ sur l'intervalle $[-1,5]$ pour $h=10^{-3}$.\n",
    "## Comparaison des deux approximations\n",
    "Tracer sur un même graphe $f'$, les approximations de la dérivée de $f$ par `derivee_premiere` et `derivee_premiere_centree` sur l'intervalle $[-1,5]$ pour $h$ identique choisi de sorte que la formule centrée ne présente pas de défaut visuellement par rapport à la solution exacte et que la formule décentrée montre un défaut d'approximation visuellement.\n",
    "## Approximation de la dérivée seconde\n",
    "Proposer une fonction `derivee_seconde` qui prend en argument une fonction $f$, un réel $x$, un réel $h$ (qui sera choisi petit en pratique) et qui renvoie une approximation de $f^{\\prime\\prime}(x)$ pour $h$ \"petit\". La formule centrée de l'approximation de la dérivée seconde est: $$f^{\\prime\\prime}(x_0)=\\lim_{h\\to 0} \\frac {f(x_0-h)-2f(x_0)+f(x_0+h)}{h^2}.$$\n",
    "Tracer le graphe de l'approximation de la dérivée seconde de $f$ sur l'intervalle $[-1,5]$ pour différentes valeurs de $h$ et les comparer à la dérivée seconde exacte."
   ]
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