\n",
" \n",
"Calculer la solution **approchée** du problème de Cauchy\n",
"$$\\begin{cases}\n",
"y'(t)=\\sin\\left(t y(t)\\right), & t>0\\\\\n",
"y(0)=a\n",
"\\end{cases}$$\n",
"pour $a=-2,-1,-\\frac{1}{2},-\\frac{1}{10},0,\\frac{1}{10},\\frac{1}{2},1,2$ et afficher le champ de vecteurs.\n",
" \n",
"
\n",
"\n",
"1. Calculer la solution particulière **approchée** du système \n",
"$$\n",
"\\begin{cases}\n",
"x'(t)= -y(t)+y^2(t)x(t)\\\\\n",
"y'(t)= x(t)-x^2(t)y(t)\n",
"\\end{cases}\n",
"$$\n",
"avec $x(0)=0$ et $y(0)=1$.\n",
"1. Afficher $t\\mapsto x$ et $t\\mapsto y$ dans un même graphe pour $t\\in[0,14]$. \n",
"Afficher ensuite $x\\mapsto y$.\n",
"1. On définit la fonction\n",
"$$\n",
"t\\mapsto E(t)=\\frac{x^2(t)}{2}+\\frac{y^2(t)}{2}.\n",
"$$\n",
"Calculer analytiquement $E'(t)$. Afficher ensuite $E(t)$ calculé à partir des solutions approchées.\n",
" \n",
"
\n",
" \n",
"Considérons le système \n",
"$$\n",
"\\begin{cases}\n",
"x'(t)= x^2(t)+y^2(t)-25\\\\\n",
"y'(t)= x(t)y(t)-12\n",
"\\end{cases}\n",
"$$\n",
"1. Afficher le champ des vecteurs et les solutions stationnaires.\n",
"1. Calculer les solutions particulières **approchées** pour des données initiales proches des points stationnaires.\n",
" \n",
"