Sources

Auteur·rice

Gloria FACCANONI

Date de publication

1 avril 2025

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1   Cours Magistraux

  • CM1 – Introduction à l’approximation numérique d’EDO

    • Solution exacte, solution exacte discrète, solution approchée.
    • Schémas d’Euler explicite (EE) et implicite (EI) : construction et implémentation.
    • Erreur de troncature, convergence.
    • Étude théorique et empirique de l’ordre de convergence des schéma EE et EI.

  • CM2 – Schémas classiques à un pas

    Construction, par interpolation-intégration, des schémas

    • Euler explicite (EE)
    • Euler implicite (EI)
    • Crank-Nicolson (CN)
    • Heun (H) [exemple de schéma predictor-corrector]
    • Euler modifié (EM) [exemple de schéma predictor-corrector]
    • Runge-Kutta RK1_M [exemple de schéma de type Runge-Kutta]

  • CM3 – Construction de schémas multipas

    • Schémas d’Adam (AB et AM)
    • Schémas de Nyström et Milne-Simpson
    • Schémas BDF
    • Construction de schémas predictor-corrector

  • CM4 – Propriétés d’un problème de Cauchy et d’un schéma d’approximation

    • Propriétés du problème de Cauchy :
      • problèmes mal/bien posés mathématiquement,
      • problèmes mal/bien posés numériquement,
      • problèmes mal/bien conditionné (problèmes raides)
    • Propriétés d’un schéma d’approximation :
      • consistance, zéro-stabilité, convergence, ordre de convergence
      • A-stabilité
      • Étude théorique de la A-stabilité des schémas EE, EI, EM, CN, Heun.

  • CM5 – Étude de schémas multipas linéaires

    • premier polynôme caractéristique et zéro-stabilité (condition des racines)
    • consistance
    • convergence et ordre de convergence (conditions et première barrière de Dahlquist)
    • A-stabilité
    • Exemple d’étude avec les schémas EE et EI.

  • CM6 – Construction et étude de schémas de Runge-Kutta

    • Construction et matrice de Butcher
    • Ordre de convergence (conditions jusqu’à 4 + barrières de Butcher)
    • A-stabilité
    • Étude des schémas à 1 étage : construction, ordre et A-stabilité
    • Étude des schémas à 2 étages : construction (tous), ordre (explicites) et A-stabilité (explicites)
    • Exemples de schémas à 3, 4, 5, 6 étages explicites

2   Travaux Dirigés (avec corrections)

  • TD1

    • Schémas à un pas : construction, étude de la consistance, de la A-stabilité, de l’ordre de convergence, implémentation et étude empirique de la convergence.

  • TD2

    • Schémas multi-pas linéaires : aide-mémoire (consistance, zéro stabilité, ordre de convergence; A-stabilité si 1 ou 2 pas) et exercices avec paramètres.
    • Schémas prédicteur-correcteur basés sur des schémas multi-pas.

  • TD3

    • Schémas RK : aide-mémoire (matrice de Butcher, consistance, ordre de convergence (jusqu’à 4); A-stabilité).

  • TD4

    • Étude de problèmes numériquement mal posés ou de problèmes raides.
    • A-stabilité pour un système.
    • Schémas pour un système ou une EDO d’ordre supérieur à 1.

3   Travaux Pratiques (énoncés)

4   Travaux Pratiques (avec corrections)

5   Annales

Dans cette partie vous trouverez les notebooks des CC, CT session 1 et CT session 2 depuis 2019.

5.1 A.A. 2025

  • 2025 CC (2 versions de chaque exercice)
    • Étude d’un système d’EDO avec le schéma de Heun ou d’Euler Modifié. Étude empirique de l’ordre de convergence à l’aide d’un invariant.
    • Étude théorique de la convergence d’un schéma à 3 pas linéaire.
    • Étude d’un schéma RK à 2 étages semi-implicite (étude théorique et empirique de l’ordre de convergence)

5.2 A.A. 2024

  • 2024 CC

    • Choix d’un schéma.
    • Étude d’un schéma RK à 4 étages explicite avec paramètres (étude théorique de l’ordre de convergence et de la A-stabilité, étude empirique de l’ordre de convergence)
    • Étude d’un schéma à 2 pas linéaire (étude théorique de la consistance, la zéro-stabilité et l’ordre de convergence; étude empirique de l’ordre de convergence).

  • 2024 CT session 1

    • Choix d’un schéma.
    • Étude d’un schéma à 3 pas linéaire (montrer que s’il est consistant d’ordre 6 alors il n’est pas zéro-stable, étude théorique de l’ordre de convergence, calcul des paramètrès pour avoir l’ordre maximal dans le cas explicite ; étude empirique de l’ordre de convergence).
    • Étude d’un schéma RK à 2 étages implicite avec paramètres (étude théorique de l’ordre de convergence en fonction du paramètre, étude empirique de l’ordre de convergence, étude de la A-stabilité)

  • 2024 CT session 2

    • Étude d’un système d’EDO avec le schéma de Heun.
    • Étude d’un schéma à 2 pas linéaire avec deux paramètres (étude théorique de la consistance, la zéro-stabilité et l’ordre de convergence; étude empirique de l’ordre de convergence).
    • Étude d’un schéma RK à 3 étages explicite avec un paramètre (étude théorique de l’ordre de convergence, étude empirique de l’ordre de convergence, étude de la A-stabilité)

5.3 A.A. 2023

  • 2023 CC

    • Choix d’un schéma.
    • Étude d’un schéma multipas à 2 pas (étude théorique de la consistance, la zéro-stabilité et l’ordre de convergence; étude empirique de l’ordre de convergence).
    • Étude d’un schéma RK à deux étages semi-implicite avec paramètres (étude théorique de l’ordre de convergence et de la A-stabilité, étude empirique de l’ordre de convergence)

  • 2023 CT session 1

    • Résolution d’un système avec les schémas EE et CN et avec odeint (scipy).
    • Étude d’un schéma multipas à 2 implicite (étude théorique de la consistance, la zéro-stabilité et l’ordre de convergence; étude empirique de l’ordre de convergence).
    • Étude d’un schéma RK à 3 étages explicite avec paramètres (étude théorique de l’ordre de convergence et de la A-stabilité, étude empirique de l’ordre de convergence)

  • 2023 CT session 2

    • Choix d’un schéma pour un problème de Cauchy numériquement mal posé.
    • Étude d’un schéma RK à 3 étages semi-implicite (étude théorique de l’ordre de convergence et de la A-stabilité, étude empirique de l’ordre de convergence)

5.4 A.A. 2022

  • 2022 CC

    • Étude d’un schéma multipas à 2 pas avec paramètres (étude théorique de la consistance, la zéro-stabilité et l’ordre de convergence; étude empirique de l’ordre de convergence).
    • Résolution d’un système avec les schémas EM et CN, puis avec odeint (scipy) et dsolve (sympy).
    • Étude de la A-stabilité d’un schéma RK (étude théorique, étude empirique sur un problème stiff)

  • 2022 CT session 1

    • Étude du schéma d’Euler exponentiel (étude empirique de l’ordre de convergence).
    • Étude d’un schéma RK à 3 étages implicite (étude théorique de l’ordre de convergence et de la A-stabilité; étude empirique de l’ordre de convergence et de la A-stabilité)
    • Résolution d’un système Hamiltonien avec dsolve (sympy) et approximation par le schéma d’Euler symplectique.

  • 2022 CT session 2

    • Étude du schéma d’Euler exponentiel pour un problème stiff linéaire (la solution discrète est exacte).
    • Étude d’un schéma RK à 4 étages semi-implicite (étude empirique de l’ordre de convergence; étude théorique de l’ordre de convergence)
    • Étude d’un schéma multipas à 3 pas (étude théorique de la consistance, la zéro-stabilité et l’ordre de convergence; étude empirique de l’ordre de convergence).

5.5 A.A. 2021

  • 2021 CC version 1

    • Résolution d’un système avec les schémas EE et EI et avec odeint (scipy).
    • Étude d’un schéma multipas à 2 pas avec paramètres (étude théorique de la consistance, la zéro-stabilité et l’ordre de convergence; étude empirique de l’ordre de convergence).

  • 2021 CC version 2

    • Résolution d’un système avec les schémas EE et EI et avec odeint (scipy).
    • Étude d’un schéma multipas à 2 pas avec paramètres (étude théorique de la consistance, la zéro-stabilité et l’ordre de convergence; étude empirique de l’ordre de convergence).

  • 2021 CT session 1

    • Étude d’un schéma RK à 2 étages explicite avec paramètres (étude théorique de l’ordre de convergence et de la A-stabilité; étude empirique de l’ordre de convergence et de la A-stabilité).
    • Choix d’un schéma pour un problème raide et implémentation
    • Choix d’un schéma pour un problème numériquement mal posé et implémentation

  • 2021 CT session 2

    • Étude d’un schéma RK à 3 étages explicite avec paramètres (étude théorique de l’ordre et de la A-stabilité, étude empirique de l’ordre et de la A-stabilité)
    • Étude d’un schéma multipas à 2 pas avec paramètres (étude théorique de la consistance, de la zéro-stabilité et de l’ordre de convergence, étude empirique de l’ordre)

5.6 A.A. 2020

  • 2020 CC (DM)
    • Résolution d’une EDO d’ordre 2 (donc d’un système) avec les schémas EE et EI, avec odeint (scipy) et avec dsolve (sympy).
    • Étude d’un schéma RK à 2 étages semi-implicite (étude théorique de l’ordre de convergence et de la A-stabilité; étude empirique de l’ordre de convergence et de la A-stabilité).
    • Étude d’un schéma Predictor-Corrector:
      • étude du predictor : schéma multipas à 3 pas (étude théorique de la consistance, de la zéro-stabilité et de l’ordre de convergence, étude empirique de l’ordre)
      • étude du corrector : schéma multipas à 2 pas (étude théorique de la consistance, de la zéro-stabilité et de l’ordre de convergence, étude empirique de l’ordre)
      • étude empirique de l’ordre du schéma predictor-corrector.

5.7 A.A. 2019

  • 2019 CC

    • Étude d’un schéma RK à 2 étages explicite avec paramètres (étude théorique de l’ordre de convergence et de la A-stabilité; étude empirique de l’ordre de convergence et de la A-stabilité).

  • 2019 CT session 1

    • Choix d’un schéma pour un problème numériquement mal posé
    • Choix d’un schéma pour un problème raide
    • Calcul de la solution exacte d’un problème de Cauchy
    • Étude empirique de la convergence d’un schéma Predictor-Corrector
    • Étude d’un schéma RK à 2 étages semi-implicite (ordre théorique, implémentation)

  • 2019 CT session 2

    • Choix d’un schéma (après calcul de la solution exacte on vérifie qu’il s’agit d’un problème numériquement mal posé)
    • Résolution d’un système (circuit LC) avec les schémas EE, Heun, Euler-Cromer et avec dsolve (sympy).

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