M64 - DSSC-6 Schémas numériques pour les problèmes de Cauchy

Auteur·rice

Gloria FACCANONI

Date de publication

23 février 2025

1 Syllabus

Une équation différentielle ordinaire (EDO) est une équation mathématique impliquant une ou plusieurs fonctions d’une variable indépendante ainsi que leurs dérivées. On parle d’équation ordinaire par opposition aux équations différentielles partielles (EDP), qui portent sur des fonctions de plusieurs variables indépendantes et incluent leurs dérivées partielles.

Les EDO et les EDP sont des outils puissants pour modéliser divers phénomènes naturels et systèmes issus de domaines tels que la physique, la biologie, l’économie ou l’ingénierie. En effet, dans de nombreuses applications réelles, les fonctions représentent des grandeurs physiques, les dérivées traduisent leurs variations, et l’équation établit un lien entre ces éléments. Ce rôle fondamental explique l’importance des équations différentielles dans l’étude des systèmes dynamiques et de nombreuses disciplines scientifiques.

En mathématiques pures, l’étude des équations différentielles se concentre principalement sur leurs solutions, c’est-à-dire l’ensemble des fonctions qui satisfont l’équation. Seules les équations les plus simples admettent des solutions explicites sous forme de formules. Cependant, même lorsque l’on ne peut pas résoudre une équation de manière analytique, il est souvent possible d’analyser certaines propriétés de ses solutions. Dans les cas où une solution exacte est hors de portée, des méthodes numériques permettent d’obtenir des approximations avec une précision contrôlée.

1.1 Objectifs

Ce cours se concentre sur l’étude et l’implémentation de schémas numériques pour approcher la solution de problèmes de Cauchy. Un problème de Cauchy est un problème de valeur initiale pour une EDO. Il consiste à trouver une solution qui satisfait une équation différentielle et une condition initiale. Les méthodes numériques pour résoudre les problèmes de Cauchy sont basées sur la discrétisation de l’intervalle de temps et sur l’approximation de la solution sur cet intervalle. Les méthodes les plus courantes sont les schémas multipas, les schémas Runge-Kutta et les schémas prédicteur-correcteur.

Les documents de cours, travaux dirigés (TD) et travaux pratiques (TP) sont présentés sous forme de notebooks Jupyter.

1.2 Contenu du cours

Fondements théoriques des problèmes de Cauchy bien posés mathématiquement, bien posés numériquement et bien conditionnés.
Construction et analyse de schémas numériques :
- Schémas multipas linéaires (notamment, les schémas des type Adams-Moulton, Adams-Bashford, Nyström, Milne-Simpson, BDF).
- Schémas Runge-Kutta (RK).
- Schémas prédicteur-correcteur (PC).
Concepts étudiés :
- Consistance et ordre de consistance (pour les schémas multipas et RK).
- Zéro-stabilité (pour les schémas multipas).
- Convergence.
- Absolue-stabilité (pour les schémas à un pas et pour les schémas RK).

1.3 Travaux Pratiques

Lors des séances de travaux pratiques il faudra :

implémenter chaque schéma étudié en cours et vérifier l’ordre théorique de convergence sur des problèmes pour lesquels la solution exacte est connue (par exemple, via sympy).
implémenter les schémas pour des systèmes d’EDO d’ordre 1 (ou des équations d’ordre supérieur à 1 après les avoir écrit comme des systèmes d’EDO d’ordre 1), avec si possible la recherche et la vérification d’invariants théoriques.

1.4 Librairies Python utilisées

numpy pour la création des schémas numériques.
matplotlib.pyplot pour la visualisation des graphiques.
Comparaison des résultats avec :
- la solution exacte obtenue via sympy.
- les solutions approchées obtenues avec scipy.integrate.

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--- title: "M64 - DSSC-6 Schémas numériques pour les problèmes de Cauchy" image: plouf.png toc: true format: html: default --- # Syllabus Une **équation différentielle ordinaire** (EDO) est une équation mathématique impliquant une ou plusieurs fonctions d'une variable indépendante ainsi que leurs dérivées. On parle d'**équation ordinaire** par opposition aux **équations différentielles partielles** (EDP), qui portent sur des fonctions de plusieurs variables indépendantes et incluent leurs dérivées partielles. Les EDO et les EDP sont des outils puissants pour modéliser divers phénomènes naturels et systèmes issus de domaines tels que la physique, la biologie, l'économie ou l'ingénierie. En effet, dans de nombreuses applications réelles, les fonctions représentent des grandeurs physiques, les dérivées traduisent leurs variations, et l'équation établit un lien entre ces éléments. Ce rôle fondamental explique l'importance des équations différentielles dans l'étude des systèmes dynamiques et de nombreuses disciplines scientifiques. En mathématiques pures, l'étude des équations différentielles se concentre principalement sur leurs **solutions**, c'est-à-dire l'ensemble des fonctions qui satisfont l'équation. Seules les équations les plus simples admettent des **solutions explicites** sous forme de formules. Cependant, même lorsque l'on ne peut pas résoudre une équation de manière analytique, il est souvent possible d'analyser certaines **propriétés** de ses solutions. Dans les cas où une solution exacte est hors de portée, des **méthodes numériques** permettent d'obtenir des approximations avec une précision contrôlée.   ## Objectifs Ce cours se concentre sur l'étude et l'implémentation de **schémas numériques pour approcher la solution de problèmes de Cauchy**. Un problème de Cauchy est un problème de valeur initiale pour une EDO. Il consiste à trouver une solution qui satisfait une équation différentielle et une condition initiale. Les méthodes numériques pour résoudre les problèmes de Cauchy sont basées sur la discrétisation de l'intervalle de temps et sur l'approximation de la solution sur cet intervalle. Les méthodes les plus courantes sont les schémas multipas, les schémas Runge-Kutta et les schémas prédicteur-correcteur. Les documents de cours, travaux dirigés (TD) et travaux pratiques (TP) sont présentés sous forme de notebooks Jupyter. ## Contenu du cours - Fondements théoriques des problèmes de Cauchy bien posés mathématiquement, bien posés numériquement et bien conditionnés. - Construction et analyse de schémas numériques : - Schémas multipas linéaires (notamment, les schémas des type Adams-Moulton, Adams-Bashford, Nyström, Milne-Simpson, BDF). - Schémas Runge-Kutta (RK). - Schémas prédicteur-correcteur (PC). - Concepts étudiés : - Consistance et ordre de consistance (pour les schémas multipas et RK). - Zéro-stabilité (pour les schémas multipas). - Convergence. - Absolue-stabilité (pour les schémas à un pas et pour les schémas RK). ## Travaux Pratiques Lors des séances de travaux pratiques il faudra : - implémenter chaque schéma étudié en cours et vérifier l'ordre théorique de convergence sur des problèmes pour lesquels la solution exacte est connue (par exemple, via `sympy`). - implémenter les schémas pour des systèmes d'EDO d'ordre 1 (ou des équations d'ordre supérieur à 1 après les avoir écrit comme des systèmes d'EDO d'ordre 1), avec si possible la recherche et la vérification d'invariants théoriques. ## Librairies Python utilisées - `numpy` pour la création des schémas numériques. - `matplotlib.pyplot` pour la visualisation des graphiques. - Comparaison des résultats avec : - la solution exacte obtenue via `sympy`. - les solutions approchées obtenues avec `scipy.integrate`.