39  Notebook Originaux à télécharger

Dans cette partie, vous trouverez les notebooks originaux utilisés dans le cours et les exercices. Ils sont disponibles en téléchargement pour que vous puissiez les exécuter sur votre propre machine.

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39.1   Cours

• Introduction à l’approximation numérique d’EDO

  • Solution exacte, solution exacte discrète, solution approchée.
  • Schémas d’Euler explicite (EE) et implicite (EI) : construction et implémentation.
  • Erreur de troncature, convergence.
  • Étude théorique et empirique de l’ordre de convergence des schéma EE et EI.

• Schémas classiques à un pas

  Construction, par interpolation-intégration, des schémas

  • Euler explicite (EE)
  • Euler implicite (EI)
  • Crank-Nicolson (CN)
  • Heun (H) [exemple de schéma predictor-corrector]
  • Euler modifié (EM) [exemple de schéma predictor-corrector]
  • Runge-Kutta RK1_M [exemple de schéma de type Runge-Kutta]

• Propriétés d’un problème de Cauchy

  • Problèmes mal/bien posés mathématiquement,
  • Problèmes mal/bien posés numériquement,
  • Problèmes mal/bien conditionné (problèmes raides)

• CM3 – Construction de schémas multipas

  • Schémas d’Adam (AB et AM)
  • Schémas de Nyström et Milne-Simpson
  • Schémas BDF
  • Construction de schémas predictor-corrector

• CM4 – Propriétés d’un schéma d’approximation

  • Consistance, zéro-stabilité, convergence, ordre de convergence
  • A-stabilité
  • Étude théorique de la A-stabilité des schémas EE, EI, EM, CN, Heun, AB2, BDF2

• CM5 – Étude de schémas multipas linéaires

  • Premier polynôme caractéristique et zéro-stabilité (condition des racines)
  • Consistance
  • Convergence et ordre de convergence (conditions et première barrière de Dahlquist)
  • A-stabilité
  • Exemple d’étude avec les schémas EE et EI.

• CM6 – Construction et étude de schémas de Runge-Kutta

  • Construction et matrice de Butcher
  • Ordre de convergence (conditions jusqu’à 4 + barrières de Butcher)
  • A-stabilité
  • Étude des schémas à 1 étage : construction, ordre et A-stabilité
  • Étude des schémas à 2 étages : construction (tous), ordre (explicites) et A-stabilité (explicites)
  • Exemples de schémas à 3, 4, 5, 6 étages explicites

39.2   Travaux Pratiques (énoncés)

• TP1 – Calcul exact avec sympy et calcul approché avec scipy

• TP2 – Implémentation des schémas classiques (EE, EI, EM, RK1_M, CN, Heun) et étude empirique de la convergence

• TP3 – Implémentation des schémas multipas, predictor-corrector et Runge-Kutta (explicites et implicites)

• TP4 – Étude empirique de la convergence des schémas du TP3 (attention : initialisation par la solution exacte)

• TP5 – Devoir Maison 2020

39.3   Travaux Pratiques (avec corrections)

• TP0 – Calcul exact avec sympy

• TP1 – Calcul approché avec scipy

• TP2 – Implémentation des schémas classiques (EE, EI, EM, RK1_M, CN, Heun) et étude empirique de la convergence

• TP3 – Implémentation des schémas multipas, predictor-corrector et Runge-Kutta (explicites et implicites)

• TP4 – Étude empirique de la convergence des schémas du TP3 (attention : initialisation par la solution exacte)

39.4   Travaux Dirigés (avec corrections)

• TD1

  • Schémas à un pas : construction, étude de la consistance, de la A-stabilité, de l’ordre de convergence, implémentation et étude empirique de la convergence.

• TD2

  • Schémas multi-pas linéaires : aide-mémoire (consistance, zéro stabilité, ordre de convergence; A-stabilité si 1 ou 2 pas) et exercices avec paramètres.
  • Schémas prédicteur-correcteur basés sur des schémas multi-pas.

• TD3

  • Schémas RK : aide-mémoire (matrice de Butcher, consistance, ordre de convergence (jusqu’à 4); A-stabilité).

• TD4

  • Étude de problèmes numériquement mal posés ou de problèmes raides.
  • A-stabilité pour un système.
  • Schémas pour un système ou une EDO d’ordre supérieur à 1.

39.5   Annales (avec corrections)

Dans cette partie, vous trouverez les notebooks des CC, CT session 1 et CT session 2 depuis 2019.

39.5.1 A.A. 2025

• 2025 CC (2 versions de chaque exercice)

  • Étude d’un système d’EDO avec le schéma de Heun ou d’Euler Modifié. Étude empirique de l’ordre de convergence à l’aide d’un invariant.
  • Étude théorique de la convergence d’un schéma à 3 pas linéaire.
  • Étude d’un schéma RK à 2 étages semi-implicite (étude théorique et empirique de l’ordre de convergence)

• 2025 CT session 1

  • Détermination d’un schéma linéaire explicite à 2 pas d’ordre 2 (calcul des coefficients, étude empirique de l’ordre de convergence).
  • Étude de la A-stabilité d’un schéma RK à 3 étages explicite (étude théorique de la A-stabilité, vérification empirique).
  • Implementation et étude empirique de l’ordre de convergence d’un schéma predictor-corrector.

• 2025 CT session 2

  • Étude de l’ordre et de la A-stabilité d’un schéma RK à 3 étages explicite (étude théorique de l’ordre et de la A-stabilité, vérification empirique de l’ordre).
  • Détermination d’un schéma linéaire explicite à 3 pas d’ordre 2 (calcul des coefficients, étude empirique de l’ordre de convergence).

39.5.2 A.A. 2024

• 2024 CC

  • Choix d’un schéma.
  • Étude d’un schéma RK à 4 étages explicite avec paramètres (étude théorique de l’ordre de convergence et de la A-stabilité, étude empirique de l’ordre de convergence)
  • Étude d’un schéma à 2 pas linéaire (étude théorique de la consistance, la zéro-stabilité et l’ordre de convergence; étude empirique de l’ordre de convergence).

• 2024 CT session 1

  • Choix d’un schéma.
  • Étude d’un schéma à 3 pas linéaire (montrer que s’il est consistant d’ordre 6 alors il n’est pas zéro-stable, étude théorique de l’ordre de convergence, calcul des paramètrès pour avoir l’ordre maximal dans le cas explicite ; étude empirique de l’ordre de convergence).
  • Étude d’un schéma RK à 2 étages implicite avec paramètres (étude théorique de l’ordre de convergence en fonction du paramètre, étude empirique de l’ordre de convergence, étude de la A-stabilité)

• 2024 CT session 2

  • Étude d’un système d’EDO avec le schéma de Heun.
  • Étude d’un schéma à 2 pas linéaire avec deux paramètres (étude théorique de la consistance, la zéro-stabilité et l’ordre de convergence; étude empirique de l’ordre de convergence).
  • Étude d’un schéma RK à 3 étages explicite avec un paramètre (étude théorique de l’ordre de convergence, étude empirique de l’ordre de convergence, étude de la A-stabilité)

39.5.3 A.A. 2023

• 2023 CC

  • Choix d’un schéma.
  • Étude d’un schéma multipas à 2 pas (étude théorique de la consistance, la zéro-stabilité et l’ordre de convergence; étude empirique de l’ordre de convergence).
  • Étude d’un schéma RK à deux étages semi-implicite avec paramètres (étude théorique de l’ordre de convergence et de la A-stabilité, étude empirique de l’ordre de convergence)

• 2023 CT session 1

  • Résolution d’un système avec les schémas EE et CN et avec odeint (scipy).
  • Étude d’un schéma multipas à 2 implicite (étude théorique de la consistance, la zéro-stabilité et l’ordre de convergence; étude empirique de l’ordre de convergence).
  • Étude d’un schéma RK à 3 étages explicite avec paramètres (étude théorique de l’ordre de convergence et de la A-stabilité, étude empirique de l’ordre de convergence)

• 2023 CT session 2

  • Choix d’un schéma pour un problème de Cauchy numériquement mal posé.
  • Étude d’un schéma RK à 3 étages semi-implicite (étude théorique de l’ordre de convergence et de la A-stabilité, étude empirique de l’ordre de convergence)

39.5.4 A.A. 2022

• 2022 CC

  • Étude d’un schéma multipas à 2 pas avec paramètres (étude théorique de la consistance, la zéro-stabilité et l’ordre de convergence; étude empirique de l’ordre de convergence).
  • Résolution d’un système avec les schémas EM et CN, puis avec odeint (scipy) et dsolve (sympy).
  • Étude de la A-stabilité d’un schéma RK (étude théorique, étude empirique sur un problème stiff)

• 2022 CT session 1

  • Étude du schéma d’Euler exponentiel (étude empirique de l’ordre de convergence).
  • Étude d’un schéma RK à 3 étages implicite (étude théorique de l’ordre de convergence et de la A-stabilité; étude empirique de l’ordre de convergence et de la A-stabilité)
  • Résolution d’un système Hamiltonien avec dsolve (sympy) et approximation par le schéma d’Euler symplectique.

• 2022 CT session 2

  • Étude du schéma d’Euler exponentiel pour un problème stiff linéaire (la solution discrète est exacte).
  • Étude d’un schéma RK à 4 étages semi-implicite (étude empirique de l’ordre de convergence; étude théorique de l’ordre de convergence)
  • Étude d’un schéma multipas à 3 pas (étude théorique de la consistance, la zéro-stabilité et l’ordre de convergence; étude empirique de l’ordre de convergence).

39.5.5 A.A. 2021

• 2021 CC version 1

  • Résolution d’un système avec les schémas EE et EI et avec odeint (scipy).
  • Étude d’un schéma multipas à 2 pas avec paramètres (étude théorique de la consistance, la zéro-stabilité et l’ordre de convergence; étude empirique de l’ordre de convergence).

• 2021 CC version 2

  • Résolution d’un système avec les schémas EE et EI et avec odeint (scipy).
  • Étude d’un schéma multipas à 2 pas avec paramètres (étude théorique de la consistance, la zéro-stabilité et l’ordre de convergence; étude empirique de l’ordre de convergence).

• 2021 CT session 1

  • Étude d’un schéma RK à 2 étages explicite avec paramètres (étude théorique de l’ordre de convergence et de la A-stabilité; étude empirique de l’ordre de convergence et de la A-stabilité).
  • Choix d’un schéma pour un problème raide et implémentation
  • Choix d’un schéma pour un problème numériquement mal posé et implémentation

• 2021 CT session 2

  • Étude d’un schéma RK à 3 étages explicite avec paramètres (étude théorique de l’ordre et de la A-stabilité, étude empirique de l’ordre et de la A-stabilité)
  • Étude d’un schéma multipas à 2 pas avec paramètres (étude théorique de la consistance, de la zéro-stabilité et de l’ordre de convergence, étude empirique de l’ordre)

39.5.6 A.A. 2020

• 2020 CC (DM)
  • Résolution d’une EDO d’ordre 2 (donc d’un système) avec les schémas EE et EI, avec odeint (scipy) et avec dsolve (sympy).
  • Étude d’un schéma RK à 2 étages semi-implicite (étude théorique de l’ordre de convergence et de la A-stabilité; étude empirique de l’ordre de convergence et de la A-stabilité).
  • Étude d’un schéma Predictor-Corrector:
    • étude du predictor : schéma multipas à 3 pas (étude théorique de la consistance, de la zéro-stabilité et de l’ordre de convergence, étude empirique de l’ordre)
    • étude du corrector : schéma multipas à 2 pas (étude théorique de la consistance, de la zéro-stabilité et de l’ordre de convergence, étude empirique de l’ordre)
    • étude empirique de l’ordre du schéma predictor-corrector.

39.5.7 A.A. 2019

• 2019 CC

  • Étude d’un schéma RK à 2 étages explicite avec paramètres (étude théorique de l’ordre de convergence et de la A-stabilité; étude empirique de l’ordre de convergence et de la A-stabilité).

• 2019 CT session 1

  • Choix d’un schéma pour un problème numériquement mal posé
  • Choix d’un schéma pour un problème raide
  • Calcul de la solution exacte d’un problème de Cauchy
  • Étude empirique de la convergence d’un schéma Predictor-Corrector
  • Étude d’un schéma RK à 2 étages semi-implicite (ordre théorique, implémentation)

• 2019 CT session 2

  • Choix d’un schéma (après calcul de la solution exacte on vérifie qu’il s’agit d’un problème numériquement mal posé)
  • Résolution d’un système (circuit LC) avec les schémas EE, Heun, Euler-Cromer et avec dsolve (sympy).