Réponses à vos questions : impulsion de Dirac et période d'échantillonnage

THEME 1 : l'impulsion de Dirac en deux parties l'une mathématique et l'autre concrète :

Première partie en vidéo : l'explication mathématique que j'avais donnée lors du cours sur la transformation de Laplace se trouve à partir de 5 minutes 25 secondes jusqu'à 12 minutes 40 secondes (important à voir pour comprendre les exemples de la partie 2.)

Deuxième partie exemples à lire :

D'après ce que je raconte ci-dessus une impulsion (ou distribution) de Dirac, est donc de durée nulle, d'intensité infinie, et d'aire égale à 1 !!! Impossible à trouver dans la nature ! Mais, on l'utilise pour "approximer" tout signal de brève intensité et d'amplitude très grande. Par exemple :

• le flash d'un appareil photo
• ce que je vous disais en cours : quand un disjoncteur s'ouvre suite à une forte tension dans un appareil électrique, les contacts se séparent , un arc électrique se forme brièvement, le courant est très fort durant un très court instant, puis s'éteint brutalement.
• Un éclair lors d'un orage est un très bon exemple de Tommy (ce n'est pas une impulsion de Dirac réelle, mais s'il était encore plus bref et plus intense en gardant la même aire, on en aurait une...)
• Monsieur Pioch ne m'a donné qu'un seul exemple visuel : un ballon de baudruche qui explose
• J'ai trouvé sur le net, un autre exemple visuel aussi : le coup de marteau

Concrètement, tous ces signaux ne sont pas un véritable Dirac : la durée n'est pas nulle (tend vers 0),  l'amplitude n'est pas infinie (elle tend vers l'infini) et la forme n'est pas parfaitement propre (l'aire sous la courbe n'est pas égale à une constante : il y a des oscillations, du bruit).

Avec la TZ, l'impulsion de Dirac, va nous permettre de caractériser notre système (filtre ou autre), car on a vu que lorsque le signal d'entrée est une impulsion de Dirac (un signal très court et intense), le signal de sortie est alors la transformée inverse de la fonction de transfert du système. 

THEME 2 : la période d'échantillonnage

Comme je vous l'ai expliqué en cours, on échantillonne un signal analogique afin de le traiter numériquement via les ordinateurs (un signal analogique demanderait une infinité de données !)

Maintenant, concernant la période d'échantillonnage : pourquoi la choisir égale à 1 dans les exercices ? Comme je vous l'expliquais, c'est pour simplifier les calculs afin de se focaliser sur l'utilisation de la TZ. On peut alors caractériser un système numérique, sans la période d'échantillonnage, qui, finalement, comme je vous l'ai montré dans les calcul, ne change pas le fonctionnement discret. En fait, c'est pour ne pas se perdre dans les unités : l'important est de comprendre le lien entre X(z), Y(z) et H(z).

Celà dit, en technologie, pour choisir la période d'échantillonnage, on applique le théorème de Nyquist : si le signal contient des fréquences jusqu'à fmax Hz, alors on choisira une fréquence d'échantillonnage supérieure ou égale à 2*fmax. Et dans la réalité on préfèrera en fait une fe un petit peu au-dessus de 2*fmax : cela évitera l'aliasing ( les hautes fréquences du signal ne doivent pas se replier sur les basses fréquences lors de l'échantillonnage) et cela évitera d'avoir trop de données à traiter... ça vous parle Nyquist ?