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    Documents non modifiables (HTML)

    • Introduction à l'approximation numérique d'EDO :

      • solution exacte, solution exacte discrète, solution approchée;
      • schémas d'Euler explicite et implicite : construction et implémentation;
      • erreur de troncature, convergence;
      • étude théorique et empirique de l'ordre de convergence des schéma EE et EI.
    • Schémas classiques à un pas : construction des schémas EE, EI, EM, RK1_M, CN, Heun par interpolation-intégration.

    • Propriétés du problème de Cauchy :

      • problèmes mal/bien posés mathématiquement,
      • problèmes mal/bien posés numériquement, 
      • problèmes mal/bien conditionné (problèmes raides)

      Propriétés d'un schéma d'approximation :

      • consistance, zéro-stabilité, convergence, ordre de convergence
      • A-stabilité

      Étude théorique de la A-stabilité des schémas EE, EI, EM, CN, Heun.
      Étude empirique de la A-stabilité des schémas EE, EI, EM, CN, Heun.

    • Construction de schémas multipas :

      • Schémas d'Adam (AB et AM)
      • Schémas de Nyström et Milne-Simpson
      • Schémas BDF
      • Construction de schémas predictor-corrector
    • Étude des schémas multipas linéaires:

      • premier polynôme caractéristique et zéro-stabilité (condition des racines)
      • consistance
      • convergence et ordre de convergence (conditions et première barrière de Dahlquist)
      • A-stabilité
      • Exemple d'étude avec les schémas EE et EI.
    • Schémas de Runge-Kutta

      • Construction et matrice de Butcher
      • Ordre de convergence (conditions jusqu'à 4 + barrières de Butcher)
      • A-stabilité
      • Étude des schémas à 1 étage : construction, ordre et A-stabilité
      • Étude des schémas à 2 étages : construction (tous), ordre (explicites) et A-stabilité (explicites)
      • Exemples de schémas à 3, 4, 5, 6 étages explicites
    • Calcul approché (scipy) vs formel (sympy)

    • Implémentation des schémas classiques (EE, EI, EM, RK1_M, CN, Heun) et étude empirique de la convergence.

    • Implémentation des schémas multipas, predictor-corrector et Runge-Kutta (explicites et implicites).

    • Étude empirique de la convergence des schémas du TP3 (attention : initialisation par la solution exacte).

      • Schémas multipas linéaires : aide-mémoire (consistance, zéro stabilité, ordre de convergence; A-stabilité si 1 ou 2 pas) et exercices avec paramètres.
      • Schémas RK : aide-mémoire (matrice de Butcher, consistance, ordre de convergence (jusqu'à 4); A-stabilité).
      • Étude d'un schéma RK à 2 étages explicite avec paramètres (étude théorique de l'ordre de convergence et de la A-stabilité; étude empirique de l'ordre de convergence et de la A-stabilité).
      • Choix d'un schéma pour un problème numériquement mal posé
      • Choix d'un schéma pour un problème raide
      • Calcul de la solution exacte d'un problème de Cauchy
      • Étude empirique de la convergence d'un schéma Predictor-Corrector
      • Étude d'un schéma RK à 2 étages semi-implicite (ordre théorique, implémentation)
      • Choix d'un schéma (après calcul de la solution exacte on vérifie qu'il s'agit d'un problème numériquement mal posé)
      • Résolution d'un système (circuit LC) avec les schémas EE, Heun,  Euler-Cromer et avec dsolve (sympy).
      • Résolution d'une EDO d'ordre 2 (donc d'un système) avec les schémas EE et EI, avec odeint (scipy) et avec dsolve (sympy).
      • Étude d'un schéma RK à 2 étages semi-implicite (étude théorique de l'ordre de convergence et de la A-stabilité; étude empirique de l'ordre de convergence et de la A-stabilité).
      • Étude d'un schéma Predictor-Corrector:
        • étude du predictor : schéma multipas à 3 pas (étude théorique de la consistance, de la zéro-stabilité et de l'ordre de convergence, étude empirique de l'ordre)
        • étude du corrector : schéma multipas à 2 pas (étude théorique de la consistance, de la zéro-stabilité et de l'ordre de convergence, étude empirique de l'ordre)
        • étude empirique de l'ordre du schéma predictor-corrector.
      • Résolution d'un système avec les schémas EE et EI et avec odeint (scipy).
      • Étude d'un schéma multipas à 2 pas avec paramètres (étude théorique de la consistance, la zéro-stabilité et l'ordre de convergence; étude empirique de l'ordre de convergence).
      • Résolution d'un système avec les schémas EE et EI et avec odeint (scipy).
      • Étude d'un schéma multipas à 2 pas avec paramètres (étude théorique de la consistance, la zéro-stabilité et l'ordre de convergence; étude empirique de l'ordre de convergence).
      • Étude d'un schéma RK à 2 étages explicite avec paramètres (étude théorique de l'ordre de convergence et de la A-stabilité; étude empirique de l'ordre de convergence et de la A-stabilité).
      • Choix d'un schéma pour un problème raide et implémentation
      • Choix d'un schéma pour un problème numériquement mal posé et implémentation
      • Étude d'un schéma RK à 3 étages explicite avec paramètres (étude théorique de l'ordre et de la A-stabilité, étude empirique de l'ordre et de la A-stabilité)
      • Étude d'un schéma multipas à 2 pas avec paramètres (étude théorique de la consistance, de la zéro-stabilité et de l'ordre de convergence, étude empirique de l'ordre)
      • Étude d'un schéma multipas à 2 pas avec paramètres (étude théorique de la consistance, la zéro-stabilité et l'ordre de convergence; étude empirique de l'ordre de convergence).
      • Résolution d'un système avec les schémas EM et CN, puis avec odeint (scipy) et dsolve (sympy).
      • Étude de la A-stabilité d'un schéma RK (étude théorique, étude empirique sur un problème stiff)
      • Étude du schéma d'Euler exponentiel (étude empirique de l'ordre de convergence).
      • Étude d'un schéma RK à 3 étages implicite (étude théorique de l'ordre de convergence et de la A-stabilité; étude empirique de l'ordre de convergence et de la A-stabilité)
      • Résolution d'un système Hamiltonien avec dsolve (sympy) et approximation par le schéma d'Euler symplectique.
      • Étude du schéma d'Euler exponentiel pour un problème stiff linéaire (la solution discrète est exacte).
      • Étude d'un schéma RK à 4 étages semi-implicite (étude empirique de l'ordre de convergence; étude théorique de l'ordre de convergence)
      • Étude d'un schéma multipas à 3 pas (étude théorique de la consistance, la zéro-stabilité et l'ordre de convergence; étude empirique de l'ordre de convergence).
      • Choix d'un schéma.
      • Étude d'un schéma multipas à 2 pas (étude théorique de la consistance, la zéro-stabilité et l'ordre de convergence; étude empirique de l'ordre de convergence).
      • Étude d'un schéma RK à deux étages semi-implicite avec paramètres (étude théorique de l'ordre de convergence et de la A-stabilité, étude empirique de l'ordre de convergence)
      • Résolution d'un système avec les schémas EE et CN et avec odeint (scipy).
      • Étude d'un schéma multipas à 2 implicite (étude théorique de la consistance, la zéro-stabilité et l'ordre de convergence; étude empirique de l'ordre de convergence).
      • Étude d'un schéma RK à 3 étages explicite avec paramètres (étude théorique de l'ordre de convergence et de la A-stabilité, étude empirique de l'ordre de convergence)
      • Choix d'un schéma pour un problème de Cauchy numériquement mal posé.
      • Étude d'un schéma RK à 3 étages semi-implicite (étude théorique de l'ordre de convergence et de la A-stabilité, étude empirique de l'ordre de convergence)