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Documents non modifiables (HTML)
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Déposé le 14 févr. 23, 10:04
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Déposé le 14 févr. 23, 10:01
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Introduction à l'approximation numérique d'EDO :
- solution exacte, solution exacte discrète, solution approchée;
- schémas d'Euler explicite et implicite : construction et implémentation;
- erreur de troncature, convergence;
- étude théorique et empirique de l'ordre de convergence des schéma EE et EI.
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Schémas classiques à un pas : construction des schémas EE, EI, EM, RK1_M, CN, Heun par interpolation-intégration.
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Propriétés du problème de Cauchy :
- problèmes mal/bien posés mathématiquement,
- problèmes mal/bien posés numériquement,
- problèmes mal/bien conditionné (problèmes raides)
Propriétés d'un schéma d'approximation :
- consistance, zéro-stabilité, convergence, ordre de convergence
- A-stabilité
Étude théorique de la A-stabilité des schémas EE, EI, EM, CN, Heun.
Étude empirique de la A-stabilité des schémas EE, EI, EM, CN, Heun. -
Construction de schémas multipas :
- Schémas d'Adam (AB et AM)
- Schémas de Nyström et Milne-Simpson
- Schémas BDF
- Construction de schémas predictor-corrector
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Étude des schémas multipas linéaires:
- premier polynôme caractéristique et zéro-stabilité (condition des racines)
- consistance
- convergence et ordre de convergence (conditions et première barrière de Dahlquist)
- A-stabilité
- Exemple d'étude avec les schémas EE et EI.
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Schémas de Runge-Kutta
- Construction et matrice de Butcher
- Ordre de convergence (conditions jusqu'à 4 + barrières de Butcher)
- A-stabilité
- Étude des schémas à 1 étage : construction, ordre et A-stabilité
- Étude des schémas à 2 étages : construction (tous), ordre (explicites) et A-stabilité (explicites)
- Exemples de schémas à 3, 4, 5, 6 étages explicites
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Calcul approché (scipy) vs formel (sympy)
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Implémentation des schémas classiques (EE, EI, EM, RK1_M, CN, Heun) et étude empirique de la convergence.
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Implémentation des schémas multipas, predictor-corrector et Runge-Kutta (explicites et implicites).
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Étude empirique de la convergence des schémas du TP3 (attention : initialisation par la solution exacte).
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- Schémas multipas linéaires : aide-mémoire (consistance, zéro stabilité, ordre de convergence; A-stabilité si 1 ou 2 pas) et exercices avec paramètres.
- Schémas RK : aide-mémoire (matrice de Butcher, consistance, ordre de convergence (jusqu'à 4); A-stabilité).
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- Étude d'un schéma RK à 2 étages explicite avec paramètres (étude théorique de l'ordre de convergence et de la A-stabilité; étude empirique de l'ordre de convergence et de la A-stabilité).
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- Choix d'un schéma pour un problème numériquement mal posé
- Choix d'un schéma pour un problème raide
- Calcul de la solution exacte d'un problème de Cauchy
- Étude empirique de la convergence d'un schéma Predictor-Corrector
- Étude d'un schéma RK à 2 étages semi-implicite (ordre théorique, implémentation)
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- Choix d'un schéma (après calcul de la solution exacte on vérifie qu'il s'agit d'un problème numériquement mal posé)
- Résolution d'un système (circuit LC) avec les schémas EE, Heun, Euler-Cromer et avec dsolve (sympy).
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- Résolution d'une EDO d'ordre 2 (donc d'un système) avec les schémas EE et EI, avec odeint (scipy) et avec dsolve (sympy).
- Étude d'un schéma RK à 2 étages semi-implicite (étude théorique de l'ordre de convergence et de la A-stabilité; étude empirique de l'ordre de convergence et de la A-stabilité).
- Étude d'un schéma Predictor-Corrector:
- étude du predictor : schéma multipas à 3 pas (étude théorique de la consistance, de la zéro-stabilité et de l'ordre de convergence, étude empirique de l'ordre)
- étude du corrector : schéma multipas à 2 pas (étude théorique de la consistance, de la zéro-stabilité et de l'ordre de convergence, étude empirique de l'ordre)
- étude empirique de l'ordre du schéma predictor-corrector.
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- Résolution d'un système avec les schémas EE et EI et avec odeint (scipy).
- Étude d'un schéma multipas à 2 pas avec paramètres (étude théorique de la consistance, la zéro-stabilité et l'ordre de convergence; étude empirique de l'ordre de convergence).
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- Résolution d'un système avec les schémas EE et EI et avec odeint (scipy).
- Étude d'un schéma multipas à 2 pas avec paramètres (étude théorique de la consistance, la zéro-stabilité et l'ordre de convergence; étude empirique de l'ordre de convergence).
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- Étude d'un schéma RK à 2 étages explicite avec paramètres (étude théorique de l'ordre de convergence et de la A-stabilité; étude empirique de l'ordre de convergence et de la A-stabilité).
- Choix d'un schéma pour un problème raide et implémentation
- Choix d'un schéma pour un problème numériquement mal posé et implémentation
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- Étude d'un schéma RK à 3 étages explicite avec paramètres (étude théorique de l'ordre et de la A-stabilité, étude empirique de l'ordre et de la A-stabilité)
- Étude d'un schéma multipas à 2 pas avec paramètres (étude théorique de la consistance, de la zéro-stabilité et de l'ordre de convergence, étude empirique de l'ordre)
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- Étude d'un schéma multipas à 2 pas avec paramètres (étude théorique de la consistance, la zéro-stabilité et l'ordre de convergence; étude empirique de l'ordre de convergence).
- Résolution d'un système avec les schémas EM et CN, puis avec odeint (scipy) et dsolve (sympy).
- Étude de la A-stabilité d'un schéma RK (étude théorique, étude empirique sur un problème stiff)
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- Étude du schéma d'Euler exponentiel (étude empirique de l'ordre de convergence).
- Étude d'un schéma RK à 3 étages implicite (étude théorique de l'ordre de convergence et de la A-stabilité; étude empirique de l'ordre de convergence et de la A-stabilité)
- Résolution d'un système Hamiltonien avec dsolve (sympy) et approximation par le schéma d'Euler symplectique.
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- Étude du schéma d'Euler exponentiel pour un problème stiff linéaire (la solution discrète est exacte).
- Étude d'un schéma RK à 4 étages semi-implicite (étude empirique de l'ordre de convergence; étude théorique de l'ordre de convergence)
- Étude d'un schéma multipas à 3 pas (étude théorique de la consistance, la zéro-stabilité et l'ordre de convergence; étude empirique de l'ordre de convergence).
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- Choix d'un schéma.
- Étude d'un schéma multipas à 2 pas (étude théorique de la consistance, la zéro-stabilité et l'ordre de convergence; étude empirique de l'ordre de convergence).
- Étude d'un schéma RK à deux étages semi-implicite avec paramètres (étude théorique de l'ordre de convergence et de la A-stabilité, étude empirique de l'ordre de convergence)
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- Résolution d'un système avec les schémas EE et CN et avec odeint (scipy).
- Étude d'un schéma multipas à 2 implicite (étude théorique de la consistance, la zéro-stabilité et l'ordre de convergence; étude empirique de l'ordre de convergence).
- Étude d'un schéma RK à 3 étages explicite avec paramètres (étude théorique de l'ordre de convergence et de la A-stabilité, étude empirique de l'ordre de convergence)
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- Choix d'un schéma pour un problème de Cauchy numériquement mal posé.
- Étude d'un schéma RK à 3 étages semi-implicite (étude théorique de l'ordre de convergence et de la A-stabilité, étude empirique de l'ordre de convergence)