M62 Analyse numérique (G. Faccanoni)

Introduction à l'approximation numérique d'EDO :

• solution exacte, solution exacte discrète, solution approchée;
• schémas d'Euler explicite et implicite : construction et implémentation;
• erreur de troncature, convergence;
• étude théorique et empirique de l'ordre de convergence des schéma EE et EI.

Schémas classiques à un pas : construction des schémas EE, EI, EM, RK1_M, CN, Heun par interpolation-intégration.

Propriétés du problème de Cauchy :

• problèmes mal/bien posés mathématiquement,
• problèmes mal/bien posés numériquement, 
• problèmes mal/bien conditionné (problèmes raides)

Propriétés d'un schéma d'approximation :

• consistance, zéro-stabilité, convergence, ordre de convergence
• A-stabilité

Étude théorique de la A-stabilité des schémas EE, EI, EM, CN, Heun.
Étude empirique de la A-stabilité des schémas EE, EI, EM, CN, Heun.

Construction de schémas multipas :

• Schémas d'Adam (AB et AM)
• Schémas de Nyström et Milne-Simpson
• Schémas BDF
• Construction de schémas predictor-corrector

Étude des schémas multipas linéaires:

• premier polynôme caractéristique et zéro-stabilité (condition des racines)
• consistance
• convergence et ordre de convergence (conditions et première barrière de Dahlquist)
• A-stabilité
• Exemple d'étude avec les schémas EE et EI.

Schémas de Runge-Kutta

• Construction et matrice de Butcher
• Ordre de convergence (conditions jusqu'à 4 + barrières de Butcher)
• A-stabilité
• Étude des schémas à 1 étage : construction, ordre et A-stabilité
• Étude des schémas à 2 étages : construction (tous), ordre (explicites) et A-stabilité (explicites)
• Exemples de schémas à 3, 4, 5, 6 étages explicites

Calcul approché (scipy) vs formel (sympy)

Implémentation des schémas classiques (EE, EI, EM, RK1_M, CN, Heun) et étude empirique de la convergence.

Implémentation des schémas multipas, predictor-corrector et Runge-Kutta (explicites et implicites).

Étude empirique de la convergence des schémas du TP3 (attention : initialisation par la solution exacte).

• Schémas multipas linéaires : aide-mémoire (consistance, zéro stabilité, ordre de convergence; A-stabilité si 1 ou 2 pas) et exercices avec paramètres.
• Schémas RK : aide-mémoire (matrice de Butcher, consistance, ordre de convergence (jusqu'à 4); A-stabilité).

• Étude d'un schéma RK à 2 étages explicite avec paramètres (étude théorique de l'ordre de convergence et de la A-stabilité; étude empirique de l'ordre de convergence et de la A-stabilité).

• Choix d'un schéma pour un problème numériquement mal posé
• Choix d'un schéma pour un problème raide
• Calcul de la solution exacte d'un problème de Cauchy
• Étude empirique de la convergence d'un schéma Predictor-Corrector
• Étude d'un schéma RK à 2 étages semi-implicite (ordre théorique, implémentation)

• Choix d'un schéma (après calcul de la solution exacte on vérifie qu'il s'agit d'un problème numériquement mal posé)
• Résolution d'un système (circuit LC) avec les schémas EE, Heun,  Euler-Cromer et avec dsolve (sympy).

• Résolution d'une EDO d'ordre 2 (donc d'un système) avec les schémas EE et EI, avec odeint (scipy) et avec dsolve (sympy).
• Étude d'un schéma RK à 2 étages semi-implicite (étude théorique de l'ordre de convergence et de la A-stabilité; étude empirique de l'ordre de convergence et de la A-stabilité).
• Étude d'un schéma Predictor-Corrector:
  • étude du predictor : schéma multipas à 3 pas (étude théorique de la consistance, de la zéro-stabilité et de l'ordre de convergence, étude empirique de l'ordre)
  • étude du corrector : schéma multipas à 2 pas (étude théorique de la consistance, de la zéro-stabilité et de l'ordre de convergence, étude empirique de l'ordre)
  • étude empirique de l'ordre du schéma predictor-corrector.

• Résolution d'un système avec les schémas EE et EI et avec odeint (scipy).
• Étude d'un schéma multipas à 2 pas avec paramètres (étude théorique de la consistance, la zéro-stabilité et l'ordre de convergence; étude empirique de l'ordre de convergence).

• Résolution d'un système avec les schémas EE et EI et avec odeint (scipy).
• Étude d'un schéma multipas à 2 pas avec paramètres (étude théorique de la consistance, la zéro-stabilité et l'ordre de convergence; étude empirique de l'ordre de convergence).

• Étude d'un schéma RK à 2 étages explicite avec paramètres (étude théorique de l'ordre de convergence et de la A-stabilité; étude empirique de l'ordre de convergence et de la A-stabilité).
• Choix d'un schéma pour un problème raide et implémentation
• Choix d'un schéma pour un problème numériquement mal posé et implémentation

• Étude d'un schéma RK à 3 étages explicite avec paramètres (étude théorique de l'ordre et de la A-stabilité, étude empirique de l'ordre et de la A-stabilité)
• Étude d'un schéma multipas à 2 pas avec paramètres (étude théorique de la consistance, de la zéro-stabilité et de l'ordre de convergence, étude empirique de l'ordre)

• Étude d'un schéma multipas à 2 pas avec paramètres (étude théorique de la consistance, la zéro-stabilité et l'ordre de convergence; étude empirique de l'ordre de convergence).
• Résolution d'un système avec les schémas EM et CN, puis avec odeint (scipy) et dsolve (sympy).
• Étude de la A-stabilité d'un schéma RK (étude théorique, étude empirique sur un problème stiff)

• Étude du schéma d'Euler exponentiel (étude empirique de l'ordre de convergence).
• Étude d'un schéma RK à 3 étages implicite (étude théorique de l'ordre de convergence et de la A-stabilité; étude empirique de l'ordre de convergence et de la A-stabilité)
• Résolution d'un système Hamiltonien avec dsolve (sympy) et approximation par le schéma d'Euler symplectique.

• Étude du schéma d'Euler exponentiel pour un problème stiff linéaire (la solution discrète est exacte).
• Étude d'un schéma RK à 4 étages semi-implicite (étude empirique de l'ordre de convergence; étude théorique de l'ordre de convergence)
• Étude d'un schéma multipas à 3 pas (étude théorique de la consistance, la zéro-stabilité et l'ordre de convergence; étude empirique de l'ordre de convergence).

• Choix d'un schéma.
• Étude d'un schéma multipas à 2 pas (étude théorique de la consistance, la zéro-stabilité et l'ordre de convergence; étude empirique de l'ordre de convergence).
• Étude d'un schéma RK à deux étages semi-implicite avec paramètres (étude théorique de l'ordre de convergence et de la A-stabilité, étude empirique de l'ordre de convergence)

• Résolution d'un système avec les schémas EE et CN et avec odeint (scipy).
• Étude d'un schéma multipas à 2 implicite (étude théorique de la consistance, la zéro-stabilité et l'ordre de convergence; étude empirique de l'ordre de convergence).
• Étude d'un schéma RK à 3 étages explicite avec paramètres (étude théorique de l'ordre de convergence et de la A-stabilité, étude empirique de l'ordre de convergence)