M62 - Schémas numériques pour les problèmes de Cauchy

Auteur·rice

Gloria FACCANONI

Date de publication

25 février 2024

1 Syllabus

Une équation différentielle ordinaire (EDO) est une équation mathématique contenant une ou plusieurs fonctions d’une variable indépendante et ses dérivées. Le terme ordinaire est utilisé par opposition au terme équation différentielle partielle (EDP) qui implique des fonctions et leurs dérivées partielles par rapport à plus d’une variable indépendante.

Un modèle mathématique est une description d’un système à l’aide de concepts et d’un langage mathématiques. Les EDO et les EDP sont d’excellents outils à cette fin. En effet, dans les applications réelles, les fonctions représentent généralement des quantités physiques, les dérivées représentent leurs taux de changement et l’équation définit une relation entre les deux. Parce que de telles relations sont extrêmement courantes, les équations différentielles jouent un rôle important dans de nombreuses disciplines telles que les systèmes dynamiques, l’ingénierie, la physique, la biologie…

En mathématiques pures, les équations différentielles sont étudiées sous différents angles, principalement en ce qui concerne leurs solutions, c’est-à-dire l’ensemble des fonctions qui satisfont l’équation. Seules les équations différentielles les plus simples peuvent être résolues par des formules explicites. Cependant, certaines propriétés des solutions d’une équation différentielle donnée peuvent être déterminées sans trouver leur forme exacte.

Si une solution analytique n’est pas disponible, la solution peut être approchée numériquement. La théorie des systèmes dynamiques met l’accent sur l’analyse qualitative des systèmes décrits par des équations différentielles, tandis que de nombreuses méthodes numériques ont été développées pour déterminer les solutions avec un degré de précision donné. En général, les équations différentielles partielles sont beaucoup plus difficiles à résoudre analytiquement que les équations différentielles ordinaires. Cependant, on peut parfois transformer une EDP en une famille d’EDO.

Dans ce cours, seules les EDO ont été prises en compte.

1.1 Objectifs

Ce cours se concentre sur l’étude et l’implémentation de schémas numériques pour approcher la solution de problèmes de Cauchy.

Les documents de cours, travaux dirigés (TD) et travaux pratiques (TP) sont présentés sous forme de notebooks Jupyter. Ces fichiers sont téléchargeables à partir de ces pages ou depuis l’onglet Moodle dédié.

1.2 Contenu du cours

Fondements théoriques des problèmes de Cauchy bien posés mathématiquement, bien posés numériquement et bien conditionnés.
Construction et analyse de schémas numériques :
- Schémas multipas linéaires (notamment, les schémas des type Adams-Moulton, Adams-Bashford, Nyström, Milne-Simpson, BDF).
- Schémas Runge-Kutta (RK).
- Schémas prédicteur-correcteur (PC).
Concepts étudiés :
- Consistance et ordre de consistance (pour les schémas multipas et RK).
- Zéro-stabilité (pour les schémas multipas).
- Convergence.
- Absolue-stabilité (pour les schémas à un pas et pour les schémas RK).

1.3 Travaux Pratiques

Lors des séances de travaux pratiques il faudra :

implémenter chaque schéma étudié en cours et vérifier l’ordre théorique de convergence sur des problèmes pour lesquels la solution exacte est connue (par exemple, via sympy).
implémenter les schémas pour des systèmes d’EDO d’ordre 1 (ou des équations d’ordre supérieur à 1 après les avoir écrit comme des systèmes d’EDO d’ordre 1), avec si possible la recherche et la vérification d’invariants théoriques.

1.4 Librairies Python utilisées

numpy pour la création des schémas numériques.
matplotlib.pyplot pour la visualisation des graphiques.
Comparaison des résultats avec :
- La solution exacte obtenue via sympy.
- La solution approchée obtenue avec scipy.integrate.

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--- title: "M62 - Schémas numériques pour les problèmes de Cauchy" image: plouf.png toc: true format: html: default --- # Syllabus Une équation différentielle ordinaire (EDO) est une équation mathématique contenant une ou plusieurs fonctions d'une variable indépendante et ses dérivées. Le terme ordinaire est utilisé par opposition au terme équation différentielle partielle (EDP) qui implique des fonctions et leurs dérivées partielles par rapport à plus d'une variable indépendante. Un modèle mathématique est une description d'un système à l'aide de concepts et d'un langage mathématiques. Les EDO et les EDP sont d'excellents outils à cette fin. En effet, dans les applications réelles, les fonctions représentent généralement des quantités physiques, les dérivées représentent leurs taux de changement et l'équation définit une relation entre les deux. Parce que de telles relations sont extrêmement courantes, les équations différentielles jouent un rôle important dans de nombreuses disciplines telles que les systèmes dynamiques, l'ingénierie, la physique, la biologie... En mathématiques pures, les équations différentielles sont étudiées sous différents angles, principalement en ce qui concerne leurs solutions, c'est-à-dire l'ensemble des fonctions qui satisfont l'équation. Seules les équations différentielles les plus simples peuvent être résolues par des formules explicites. Cependant, certaines propriétés des solutions d'une équation différentielle donnée peuvent être déterminées sans trouver leur forme exacte. Si une solution analytique n'est pas disponible, la solution peut être approchée numériquement. La théorie des systèmes dynamiques met l'accent sur l'analyse qualitative des systèmes décrits par des équations différentielles, tandis que de nombreuses méthodes numériques ont été développées pour déterminer les solutions avec un degré de précision donné. En général, les équations différentielles partielles sont beaucoup plus difficiles à résoudre analytiquement que les équations différentielles ordinaires. Cependant, on peut parfois transformer une EDP en une famille d'EDO. Dans ce cours, seules les EDO ont été prises en compte. ## Objectifs Ce cours se concentre sur l'étude et l'implémentation de schémas numériques pour approcher la solution de problèmes de Cauchy. Les documents de cours, travaux dirigés (TD) et travaux pratiques (TP) sont présentés sous forme de notebooks Jupyter. Ces fichiers sont téléchargeables à partir de ces pages ou depuis l'onglet Moodle dédié. ## Contenu du cours - Fondements théoriques des problèmes de Cauchy bien posés mathématiquement, bien posés numériquement et bien conditionnés. - Construction et analyse de schémas numériques : - Schémas multipas linéaires (notamment, les schémas des type Adams-Moulton, Adams-Bashford, Nyström, Milne-Simpson, BDF). - Schémas Runge-Kutta (RK). - Schémas prédicteur-correcteur (PC). - Concepts étudiés : - Consistance et ordre de consistance (pour les schémas multipas et RK). - Zéro-stabilité (pour les schémas multipas). - Convergence. - Absolue-stabilité (pour les schémas à un pas et pour les schémas RK). ## Travaux Pratiques Lors des séances de travaux pratiques il faudra : - implémenter chaque schéma étudié en cours et vérifier l'ordre théorique de convergence sur des problèmes pour lesquels la solution exacte est connue (par exemple, via `sympy`). - implémenter les schémas pour des systèmes d'EDO d'ordre 1 (ou des équations d'ordre supérieur à 1 après les avoir écrit comme des systèmes d'EDO d'ordre 1), avec si possible la recherche et la vérification d'invariants théoriques. ## Librairies Python utilisées - `numpy` pour la création des schémas numériques. - `matplotlib.pyplot` pour la visualisation des graphiques. - Comparaison des résultats avec : - La solution exacte obtenue via `sympy`. - La solution approchée obtenue avec `scipy.integrate`.