Cours Magistraux

Dans cette partie vous trouverez les notebooks des cours magistraux (CM) du module M62.

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• CM1 – Introduction à l’approximation numérique d’EDO

  • Solution exacte, solution exacte discrète, solution approchée.
  • Schémas d’Euler explicite (EE) et implicite (EI) : construction et implémentation.
  • Erreur de troncature, convergence.
  • Étude théorique et empirique de l’ordre de convergence des schéma EE et EI.

• CM2 – Schémas classiques à un pas

  Construction, par interpolation-intégration, des schémas

  • Euler explicite (EE)
  • Euler implicite (EI)
  • Crank-Nicolson (CN)
  • Heun (H) [exemple de schéma predictor-corrector]
  • Euler modifié (EM) [exemple de schéma predictor-corrector]
  • Runge-Kutta RK1_M [exemple de schéma de type Runge-Kutta]

• CM3 – Construction de schémas multipas

  • Schémas d’Adam (AB et AM)
  • Schémas de Nyström et Milne-Simpson
  • Schémas BDF
  • Construction de schémas predictor-corrector

• CM4 – Propriétés d’un problème de Cauchy et d’un schéma d’approximation

  • Propriétés du problème de Cauchy :
    • problèmes mal/bien posés mathématiquement,
    • problèmes mal/bien posés numériquement,
    • problèmes mal/bien conditionné (problèmes raides)
  • Propriétés d’un schéma d’approximation :
    • consistance, zéro-stabilité, convergence, ordre de convergence
    • A-stabilité
    • Étude théorique de la A-stabilité des schémas EE, EI, EM, CN, Heun.

• CM5 – Étude de schémas multipas linéaires

  • premier polynôme caractéristique et zéro-stabilité (condition des racines)
  • consistance
  • convergence et ordre de convergence (conditions et première barrière de Dahlquist)
  • A-stabilité
  • Exemple d’étude avec les schémas EE et EI.

• CM6 – Construction et étude de schémas de Runge-Kutta

  • Construction et matrice de Butcher
  • Ordre de convergence (conditions jusqu’à 4 + barrières de Butcher)
  • A-stabilité
  • Étude des schémas à 1 étage : construction, ordre et A-stabilité
  • Étude des schémas à 2 étages : construction (tous), ordre (explicites) et A-stabilité (explicites)
  • Exemples de schémas à 3, 4, 5, 6 étages explicites