M1 MA parcours Mathématiques fondamentales de la mécanique et des systèmes quantiques

Le projet collaboratif, réalisé en groupes de 2 à 4 étudiants, porte sur un chapitre non traité dans l’un des cours, ou un petit projet de modélisation qui peut être aussi l’occasion de mettre en oeuvre des méthodes numériques.

 Ce Cours est une Introduction aux Espaces Fonctionnels et à la Théorie des Distributions. Espaces de fonctions tests: espaces vectoriels topologiques localement convexes et séparés, convergence et continuité, espaces de fonctions tests les plus importants; distributions: définitions, convergence des suites de distributions; opérations élémentaires sur les distributions: dérivation, multiplication par une fonction, support et support singulier; convolution: convolution des fonctions, régularisation, convolution des distributions; solutions fondamentales: défintion, solutions fondamentales d'opérateurs différentiels importants; distributions tempérées: transformation de Fourier, distributions tempérées, transformations de Fourier pour les distributions tempérées, applications.

 Introduction aux groupes topologiques, aux groupes de Lie et à leurs représentations

Méthodes variationnelles en optimisation.

 Probabilité

Ce cours est une introduction à la notion de sous-variété et de variété différentielle. Après un rappel des outils mathématiques nécessaires, un chapitre consacré aux arcs paramétrés, un chapitre consacré aux surfaces paramétrées, la définition de sous-variété est introduite comme généralisation des arcs et des surfaces. La notion de variété est présentée comme une généralisation supplémentaire.

Le TER (Travail Encadré de Recherche) se déroule sur 7 à 8 semaines, et se termine par le rendu d'un mémoire ainsi qu'une soutenance.

 Espaces de Hilbert, projection orthogonale sur un convexe fermé et conséquences, base hilbertienne, convergence faible dans un espace de Hilbert et propriétés (Bolzano-Weierstrass faible), théorème de représentation de Riesz, opérateurs linéaires continus sur un Hilbert (bornés), lien avec la convergence faible, opérateurs autoadjoints, opérateur compact, limite en norme d'opérateurs de rang fini, éléments d'analyse spectrale, localisation du spectre et théorème de Lax-Milgram, diagonalisation des opérateurs compacts autoadjoints, espace de Banach, théorème de Hahn-Banach, formes linéaires continues dans un Banach, convergence faible, théorème de Banach-Steinhaus et ses conséquences, théorème de l'application ouverte, théorème du graphe fermé.

Ce Cours est une introduction à la Mécanique Statistique en Physique du Solide: Fonctions thermodynamiques, Etude élémentaire de quelques modèles, Théorie du Champ Moyen pour le modèle d'Ising, Systèmes de spins à symétrie continue et modèle de Villain.