M1 MA parcours Mathématiques fondamentales de la mécanique et des systèmes quantiques

Partie 1. Champs tensoriels et formes différentiels Algèbre multilinéaire (dimension finie) : espace dual, tenseurs, tenseurs antisymétriques, espaces linéaires réels, structures du produit (produit tensotiel, produit extérieur,...) Champs vectoriels, : espace tangent, la notion de dérivée d’une application et sa relation avec la matrice jacobienne, la dérivée de composition, structures régulières, champs vectoriels et équations différentielles, champs vectoriels en tant qu'opérateurs, crochet de Lie des champs vectoriels, crochet de Poisson. Champs tensoriels et formes différentielles : constructions, opérations ponctuelles, dérivée extérieure, dérivée de Lie, métriques riemanniennes, changements de coordonnée (push-forward et pull-back), l’importance pour la définition des notions globales Intégration : Variétés, sous-variétés, immersions, submersions et plongements, orientation et forme de volume, variétés à bord, intégration sur les variétés à bord. théorème de Stokes, formes exactes et closes, le lèmme de Poincaré, divergence, rotationnel, théorèmes de divergence et de Stokes comme cas particuliers.

Partie 2. Structures géométriques et la géométrie différentielle : Théorie des surfaces : rappel de courbure et torsion d’une courbe dans l’espace tri-d, la dérivée seconde d’une courbe sur une surface et la dérivée covariante, les géodésies, connections avec la mécanique newtonienne, courbure géodésique (notions intrinsèques et extrinsèques), courbures de Gauss (intrinsèque et extrinsèque), plongements isométriques, la seconde forme et l’application de Weingarten, théoréma égrégium, théorème de Gauss-Bonnet.

UE24 Fondation mathématique de mécanique des solides

Ce cours définit les principaux outils mathématiques de la mécanique quantique. 

Le plan du cours est le suivant:

• I. Introduction à la mécanique quantique
• II. Boîte à outils: la transformée de Fourier
• III. Opérateurs non bornés
• IV. Spectre des opérateurs
• V. Opérateurs à résolvante compacte
• VI. Spectre des opérateurs autoadjoints
• VII. Semi-groupe
• VIII. Théorème spectral

 Introduction aux groupes topologiques, aux groupes de Lie et à leurs représentations

Méthodes variationnelles en optimisation.

 Probabilité

Le TER (Travail Encadré de Recherche) se déroule sur 7 à 8 semaines, et se termine par le rendu d'un mémoire ainsi qu'une soutenance.

Ce Cours est une introduction à la Mécanique Statistique en Physique du Solide: Fonctions thermodynamiques, Etude élémentaire de quelques modèles, Théorie du Champ Moyen pour le modèle d'Ising, Systèmes de spins à symétrie continue et modèle de Villain.