Dans ce cours, nous allons étudier deux chapitres. 

Le premier est dédié à l’arithmétique des nombres entiers, et le second est consacré aux éléments de base de l’algèbre générale. Comme pour toutes les branches des mathématiques, il n’y a pas de cloisonnement entre les différentes théories. L’arithmétique et l’algèbre sont liées. Le cours d’arithmétique des entiers aurait par exemple pu être abordé directement par l’algèbre. La théorie algébrique des nombres est une branche de l’arithmétique qui est étudiée avec des outils de l’algèbre.

Les chapitres abordés dans ce cours:

1. Arithmétique dans l’ensemble des entiers relatifs 

• 1.1. Les nombres entiers naturels et nombres entiers relatifs 
• 1.2. Divisibilité - Division euclidienne 
• 1.3. Nombres premiers - PGCD - PPCM 
• 1.4. Algorithme d’Euclide 
• 1.5. Congruences 
• 1.6. Nombres premiers entre eux et théorème de Bézout 
• 1.7. Théorème de Gauss (ou Lemme de Gauss) 
• 1.8. Résolution dans Z d’équations du type \( ax + by = c \)

2. Structures algébriques usuelles

• 2.1. Structure de groupe 
• 2.2. Le groupe symétrique ou groupe des permutations 
• 2.3. Structure d’anneau 
• 2.4. Structure de corps 
• 2.5. Compléments sur les anneaux Annexe 

• B.1. Tableau récapitulatif de symboles
• B.2. Les assertions et les prédicats
• B.3. Les quantificateurs
• B.4. Les implications \( \Rightarrow \quad \Leftarrow \quad \Leftrightarrow \)
• B.5. Quelques formes de raisonnement

Le cours d'analyse complexe est une introduction à la "théorie des fonctions", c'est-à-dire à l'étude des applications \( f:\Omega\to\mathbb{C} \), où \( \Omega\subset\mathbb{C} \).

 On s'intéressera plus spécifiquement aux fonctions qui sont différentiables dans le sens complexe, \( f'(z)=\lim_{h\to0}\frac{f(z+h)-f(z)}{h} \)

une aventure qui se révèlera pleine de surprises.

'objectif de ce cours est d'étudier la notion de différentielle abordée dans le cours d'analyse 1 pour les fonctions de \(\mathbb{R}\) dans  \(\mathbb{R}\)  et dans le cours d'analyse 2 pour les fonctions de \(\mathbb{R}^n\) dans  \(\mathbb{R}^p\), et de la généraliser au cas de fonctions dans des espaces vectoriels normés quelconques, point de départ de nombreux problèmes dans les sciences.

Une partie du cours sera ainsi dédiée à l'application de ces notions à la résolution d'équations différentielles. 

Ce cours de Calcul différentiel prend appui sur les cours d'analyse 1 de L1, d'analyse 2 de L2, la partie intégrales généralisées du cours d'analyse 3 de L2, les cours d'algèbre 2 de L1 et d'algèbre 3 de L2 pour les notions d'espaces vectoriels. 

Il est fondamental de bien maîtriser ces cours. 

Le cours de calcul différentiel sera aussi à mettre en parallèle avec les cours d'intégration et de  topologie étudiés au même semestre.   

Syllabus actuel:

- Renforcer la maîtrise par l'étudiant des méthodes introduites en Analyse 2, en particulier en ce qui concerne l'analyse des fonctions d'un nombre fini mais arbitraire de variables: notions de continuité, de différentiabilité de Fréchet et de Gâteaux; développement de Taylor ;théorèmes de la fonction réciproque, de la fonction implicite, du rang; multiplicateurs de Lagrange pour les extremas liés .

- Sensibiliser l'étudiant au fait que la plupart des problèmes ``intéressants'' ou ``naturels' 'n'admettent pas de solution explicite. Que même si une telle solution existe elle est souvent moins utile que les informations que l'on peut déduire d'une analyse qualitative (de l'utilité des estimations

- Connaître et savoir mettre en œuvre les principales méthodes de résolution des équations différentielles ordinaires linéaires. Equations à coefficients constants. Méthode de Frobenius pour les équations du second ordre à coefficients polynomiaux, discussions de quelques cas classiques (Bessel, hypergéométrique, ...).

- Savoir déterminer les symétries d'un problème (équation différentielle) et adapter sa formulation en utilisant des systèmes de coordonnées adaptés.- Différentiabilité- Accroissements finis- Extrema libres- Théorèmes d'inversion locale et des fonctions implicites- Extrema liés- Equations différentielles